1、你的QQ是什么？ 截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。

2、通常来证明几条线段的数量关系。

3、截长补短法有多种方法。

【资料图】

4、截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

5、……补短法（1）延长短边。

6、（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

7、…… 例：在正方形ABCD中，DE=DF，DG CE，交CA于G，GH AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系 方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）例题不详解。

8、（第2页题目答案见第3、4页）（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上， EAF=45 。

9、求证：EF=DE+BF （1）变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上， EAF=45 。

10、请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ （1）变形b正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上， EAF=45 。

11、请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ （1）变形c正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上 EDF=45 。

12、DB=DC， BDC=120 。

13、请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？ （1）变形d正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上， EAD=15 ， FAB=30 。

14、AD= 求 AEF的面积 （1）解：（简单思路）延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

15、由四边形ABCD是正方形得ADG= ABF=90 AD=AB又DG=BF所以 ADG ABF（SAS）GAD= FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90 = DAF+ FAB= DAF+ GAD= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90 -45 =45 GAE= FAE=45 又AG=AFAE=AE所以 EAG EAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE 变形a解：（简单思路）EF= BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。

16、由四边形ABCD是正方形得ADE= ABG=90 AD=AB又DE=BG所以 ADE ABG（SAS）EAD= GABAE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90 = DAG+ GAB= DAG+ EAD= GAE所以 GAF= GAE- EAF=90 -45 =45 GAF= EAF=45 又AG=AEAF=AF所以 EAF GAF（SAS）EF=GF=BF-BG=BF-DE 变形b解：（简单思路）EF=DE-BF在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。

17、由四边形ABCD是正方形得ADG= ABF=90 AD=AB又DG=BF所以 ADG ABF（SAS）GAD= FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90 = DAG+ GAB= BAF+ GAB= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90 -45 =45 GAE= FAE=45 又AG=AFAE=AE所以 EAG EAF（SAS）EF=EG=ED-GD=DE-BF 变形c解：（简单思路）EF=BE+FC延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。

18、由 ABC是正三角形得ABC= ACB=60 又DB=DC， BDC=120 所以 DBC= DCB=30 DBE= ABC+ DBC=60 +30 =90 ACD= ACB+ DCB=60 +30 =90 所以 GCD=180 - ACD=90 DBE= DCG=90 又DB=DC，BE=CG所以 DBE DCG（SAS）EDB= GDCDE=DG又 DBC=120 = EDB+ EDC= GDC+ EDC= EDG所以 GDF= EDG- EDF=120 -60 =60 GDF= EDF=60 又DG=DEDF=DF所以 GDF EDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC 变形d解：（简单思路）延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

19、过E作EH AG.前面如（1）所证，ADG ABF， EAG EAFGAD= FAB=30 ，S EAG=S EAF在Rt ADG中， GAD=30 ，AD= AGD=60 ，AG=2设EH=x在Rt EGH中和Rt EHA中AGD=60 ， HAE=45 HG= x，AH=xAG=2=HG+AH= x+x,EH=x=3- S EAF=S EAG=EH AG 2=3- .（第5页题目答案见第6页）（2） 正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分 DAC。

20、求证：AC/2=AD-EO （2）加强版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分 DNM。

21、请问MN、AD、EF有什么数量关系？ （2）解：（简单思路）过E作EG AD于G因为四边形ABCD是正方形ADC=90 ，BD平分 ADC，AC BD所以 ADB= ADC/2=45 因为AE平分 DAC，EO AC，EG AD所以 EAO= EAG，DGE= AOE= AGE=90 又AE=AE，所以 AEO AEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又 ADB=45 ， DGE=90 所以 DGE为等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2 （2）加强版解：（简单思路）MN/2=AD-EF过E作EG AD于G，作EQ AB于Q，过B做BP MN于P按照（2）的解法，可求证，GNE FNE（AAS）DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，因为四边形ABCD为正方形，ABC= GAQ= BCM=90 BD平分 ABC，BC=BAABD= ABC/2=45 ，又 EQB=90 EQB为等腰Rt三角形， BEQ=45 因为 GAQ= EGA= EQA=90 所以四边形AGEQ为矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ//AGQEN= ENG又 ENG= ENF，所以 QEN= ENF由BC=BA， BCM= BAN=90 ，CM=AN，所以 BCM BAN（SAS）BM=BN， CBM= ABNABC=90 = ABM+ CBM= ABM+ ABN= MBN，又BM=BN所以 MBN为等腰Rt三角形，又BP 斜边MN于P，所以 NPB为等腰Rt三角形。

22、BP=MN/2， PNB=45 。

23、BNE= ENF+ PNBBEN= QEN+ QEB又 QEN= ENF， PNB= QEB=45 所以 BNE= BENBN=BE，又 PNB= QEB=45 = NBP= EBQ所以 BEQ BNP（SAS）EQ=BP因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2所以AD-EF=MN/2。

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